Mocniny

V tomto článku se budeme zabývat druhou a třetí mocninou, jejich úpravami a vzorci pro jejich počítání.

Označují se číslem 2 a 3 jako horní index nad  číslem, které umocňujeme. Např. 2², 4³.Druhá a třetí mocnina nám umocňuje číslo, které nazýváme mocněnec. Jednoduše můžeme říci, že mocnina je číslo, které nám určuje kolikrát za sebou bychom násobili číslo, které umocňujeme. Pokud máme zadání příkladu přečíst slovně, budeme tento matematický zápis : 2² číst jako "dvě na druhou", obdobně také 2³ čteme jako "dvě na třetí".

Obecně značíme mocniny tímto matematickým vzorcem: aⁿ= a × a × a, přičemž počet A za znaménkem rovná se  N. Podmínkou platonosti u mocnin je, že A  musí být množina reáných čísel a N označuje množinu přirozených čísel.

Třetí mocnina: 2× 2 ×2 = 2³ (tj. 2³=8)

Druhá mocnina: 2× 2 = 2² (tj. 2² = 4)

Mocniny nám usnadňují počítání. Nemusíme za sebou vypisovat třikrát číslo, stačí napsat  X³.

POZOR: nezapomeňte, že mocninou se číslo nenásobí..znamená kolikrát násobíme mocněné číslo samo sebou.

 

Ukázky druhých a třetích mocnin:

1² = 1×1 = 1                         1³=  1×1×1 = 1

2² = 2×2 = 4                         2³=  2×2×2 = 8

3² = 3×3 = 9                         3³=  3×3×3 = 27

4² = 4×4 = 16                       4³=  4×4×4 = 64

5² = 5×5 = 25                       5³=  5×5×5 = 125

6² = 6×6 = 36                       6³=  6×6×6 = 216

7² = 7×7 = 49                       7³=  7×7×7 = 343

 

Tak jako jsme si zde popsali druhou a třetí mocninu, můžeme postupovat dále s dalšími vyššími mocninami. Může jít o mocninu "třetí", "čtvrtou", "pátou" a tak dále.

Ukázali jsme si základ pro počítání s mocninami. Nyní přistupme k dalším operacím s mocninami. Stejně jako u čísel se dají mocniny krátit, násobit, sčítat, nebo také převést do jiného tvaru. K tomu nám slouží vzorce pro počítání s mocninami, které doporučuji si někde poznamenat, nebo ještě lépe zapamatovat. Mocniny se Vám totiž v budoucnu budou určitě hodit. 

Vzorce pro počítání s mocninami:
- umocňování nulou a⁰ = 1

(jakékoli číslo pokud umocníme na nultou, výsledek je vždy nula)

- Součin mocnin  a^x × a^y = a^x+y
(pokud násobíme mocniny, mocnitele mezi sebou sčítáme)

- Mocnina mocniny  (a^x)^y=  a ^x-y

(pokud mocníme mocniny, mocnitele mezi sebou odečítáme)

- Mocnina součinu  (a×b)^x= a^x × b^x

(pokud mocníme součin, můžeme umocnit každého činitele zvlášt)

- Mocnina podílu     (a÷b)^x = a^x÷ b^x

(pokud umocňujeme podíl dvou činitelů, můžeme umocnit každého činitele zvlášť)

- Sčítání mocnin  Například: 2a²+2a²=4a²

(sčítat můžeme pouze mocniny o stejném základu(mocněnec) a exponentu (mocnitel).)

- Odčítání mocnin Například:  3a²-2a²=a²

(odčítat můžeme pouze mocniny o stejném základu(mocněnec) a exponentu (mocnitel).)

 

Tyto operace s mocninami si dále rozšíříme o znalost rozkladu mnohočlenu na součin druhé a třetí mocniny. Pro rozklad se používají vzorce a to pro:

- Druhá mocnina

(a+b)²= a²+2ab+b²

(a-b)²= a²-2ab+b²

 

- Třetí mocnina

 

(a+b)³= a³+3a²b+3ab²+b³

(a-b)³= a³-3a²b+3ab²-b³

 

Rozložení na součin dvojčlenů:

- Druhá mocnina

a²-b²= (a-b)(a+b)

a²+b² POZOR: tento člen nelze rozložit na součin dvojčlenů)

 

- Třetí mocnina

 

(a+b)³= (a+b)(a²-ab+b²)

(a-b)³= (a-b)(a²+ab+b²)