Absolutní hodnota

Absolutní hodnota reálného čísla

Absolutní hodnota reálného čísla má tyto vlastnosti. Pro x ≥ 0 platí |x| = x a pro x < 0 |x| = -x. Jednoduše tedy můžeme říct, že absolutní hodnota je výraz vždy nezáporný.

To je zřejmé z faktu, že absolutní hodnota je ve skutečnosti vzdálenost. Stejně jako vzdálenost od bodu na obě strany nemůže být záporná, nemůže ani absolutní hodnota být záporná.

Ukažme si význam absolutní hodnoty na příkladech.

Najděme množinu, která odpovídá dané nerovnosti.

|x - 1| ≤ 2

Krok 1. Zadaná nerovnost nám ve skutečnosti říká "Vzdálenost x od 1 je menší nebo rovna 2". Tedy víme, že středem intervalu je číslo 1. Odečtením a přičtením 2 ke středu intervalu získáme dva body na ose. Pokud má být vzdálenost menší nebo rovna dvoum, pak je jasné, že hledaný interval je přesně ten mezi dvěma body na ose a v jeho středu je 1. Protože body mohou patřit do intervalu, je interval intervalem uzavřeným.

<1 - 2; 1 + 2> tj. <-1;3>

Další příklad bude o něco složitějším. Najděme množinu, která odpovídá následující nerovnosti.

|2x + 1| > 3

Krok 1. Tuto nerovnici je vhodné podělit dvěma, abychom osamostatnili x - přeci jen se nám víc hodí určovat vzdálenost od x a ne od jeho dvojnásobku. Nezapomeň, že úpravy se týkají obou stran nerovnice.

|x + ½| > 3/2

Krok 2. Nyní už určíme že vzdálenost x od ½ je větší než 3/2. Přičtením a odečtením 3/2 od ½ získáme body -1 a 2. Protože vzdálenost od ½ má být větší než 3/2, pak je výsledkem následují spojení intervalů.

(-∞;-1)U(2;∞)

Nyní to zkusme opačně. Najdeme původní nerovnost pro zadaný interval.

(-∞;-2>U<6;∞)

Krok 1. Najdeme střed intervalu. Tedy -2 + (2+6)/2 nebo taktéž 6 - (2+6)/2. Středem intervalu je číslo 2. Délka je 8, tedy poloměr je roven čtyřem. Nyní už víme, že hledanou nerovností bude právě následující.

|x - 2| > 4

Tedy jinými slovy: "Vzdálenost x od 2 je větší než 4".

Absolutní hodnota komplexního čísla

Myslím, že je vhodné zde zmínit také definici absolutní hodnoty pro komplexní čísla.

Absolutní hodnota komplexního čísla z = a + bj je součtem kvadrátů imaginární a reálné složky pod odmocninou což je v podstatě součin komplexního čísla a čísla k němu komplexně sdruženého.

|z| = √((a + bj)·(a - bj)) = √(a² + abj - abj - bj²) = √(a² + b²)

Absolutní hodnota vektoru

Podobně jako u absolutní hodnoty komplexního čísla je absolutní hodnota vektoru - jinými slovy jeho délka nebo chceš-li velikost - dána jako součet kvadrátů všech složek pod odmocninou. Pro vektor daný předpisem v = (x₁, x₂, ..., x_n) platí následující vztah pro výpočet absolutní hodnoty.

|v| = √(x₁² + x₂² + ... + x_n²)

Trojúhelníková nerovnost

V souvislosti s absolutní hodnotou je dobré mít na paměti také větu o trojúhelníkové nerovnosti.

|a + b| ≤ |a| + |b|

Pravdivost si můžeš snadno ověřit nakreslením trojúhelníku. Součet délek dvou stran nikdy není menší než délka přepony.