Derivace

Derivace je základní pojem matematiky, konkrétně diferenciálního počtu. Derivace nějaké funkce je změna (růst) obrazu této funkce v poměru k (ideálně) nekonečně malé změně jejích argumentů. Opačným procesem k derivování je integrování.

Příklad: Cestovní kancelář si pronajímá u letecké společnosti letadlo, za něž zaplatí 200 000 korun. Minimální počet cestujících je 50, kdy letenka přijde každého klienta na 4 000 korun. Letadlem mohou cestovat i početnější skupiny, nejvýše však 200 osob. Pokud cestuje početnější skupina, cestovní kancelář poskytuje slevy. Každý cestující nad 50 sníží cenu každé letenky o 15 korun. (Cestuje-li např. o 20 osob více, tj. 70 cestujících, cena každé letenky klesne o 300 korun, tj. o 20 * 15 korun. Při plně obsazeném letadle je cena jedné letenky pouze 1750 korun.)

a) Kolik korun vydělá kancelář na cestovném u 120 členné skupiny?

b) Kolik korun vydělá kancelář na cestovném při plně obsazeném letadle?

c) Při kolika cestujících má kancelář nejvyšší zisk za cestovné?

Řešení:

a) U 120 členné skupiny se letenky zlevní o 70 * 15 korun, každý cestující zaplatí 4000 - (120 - 50) * 15 = 2900. Cestovní kancelář obdrží 120 * 2900 = 354 000 korun. Náklady na dopravu činily 200 000 korun. Zisk kanceláře je rozdíl mezi příjmy a náklady, tedy za 120 člennou skupinu činí 154 000 korun. Výpočet hodnoty zisku u 120 členné skupiny: z(120) = 120 * (4000 - (120 - 50) * 15) - 200 000 = 154 000

b) Podobně se vypočte hodnota zisku u 200 členné skupiny: z(200) = 200 * (4000 - (200 - 50) * 15) - 200 000 = 150 000

c) U n členné skupiny, kde n je větší než padesát, je cena letenky (4000 - (n - 50) * 15) - 200 000 korun. Zisk činí z(n) = n*(4000 - (n-50)*15) - 200 000 korun. Hodnota z(n) = n(4000 - 15n + 750) - 200 000 = -15n² + 4750 - 200 000.

Funkce z definována pro n ležící v N s omezením, že n je větší nebo rovno 50 a menší nebo rovno 200 je podmnožinou kvadratické funkce f: y = -15x2 + 4750x – 200 000, kde x leží v R.

Při hledání lokálního maxima funkce f je možné užít derivaci funkce podle proměnné x: f´(x) = -30x + 4750

Funkce nabývá extrému v bodě, v němž je derivace nulová: -30x + 4750 = 0, z toho plyne, že x = 158,333…

Bod (158,333;f(158,333)) grafu funkce f je vrchol paraboly. V intervalu (-nekonečno;158,333) je funkce f rostoucí, v intervalu (158,333;nekonečno) je funkce klesající.

Proměnná n je přirozené číslo, maximum funkce z nastane v jednom z bodů 158 nebo 159:

z(158) = 176 040

z(159) = 176 035

z (158) je větší než z (159)

Závěr:

a) Zisk kanceláře z cestovného je 154 000 korun u 120 členné skupiny.

b) Zisk kanceláře je 150 000 korun při plně obsazeném letadle.

c) Největší zisk má kancelář u 158 členné skupiny, ten činí 176 040 korun.

Limita

Definice limity funkce

Funkce f má předpis y = 1 - (2sinx/|x+2|). Definiční obor funkce f je v R bez -2. Hodnoty funkce f neomezeně narůstají v blízkém okolí bodu - 2. Funkce má v tomto (vlastním) bodě nevlastní limitu lim f(x) = +nekonečno.

Pokud neomezeně narůstají hodnoty proměnné x (x se blíží k nekonečnu), hodnoty funkce se stále méně odchylují od 1. Funkce se chová podobně i pro hodnoty proměnné x, které se blíží k nekonečnu, proto je

lim (x ­> ∞) f (x) = 1 a

lim (x ­> – ∞) = 1.

V obou těchto případech říkáme, že funkce má v nevlastním bodě vlastní limitu 1.

Předpis další funkce g je y = x/|sinx|, je-li x náležící R\U {kp}, y = x, je-li x = kp, kde k leží v Z. Definiční obor funkce g je R.

V bodě 0 nemá funkce g limitu, hodnoty funkce se z každé strany přibližují k jiné hodnotě (zprava k 1, zleva k –1), což lze zapsat jednostrannou limitou lim (x ­> 0^-) g (x) = - 1 a lim (x ­> 0⁺) g (x) = 1.

Podobně jako u předchozí funkce má i tato funkce nevlastní limintu +∞, a to dokonce ve všech kladných bodech, v nichž funkce není spojitá (kladné násobky čísla p). Pro záporné násobky čísla p existuje nevlastní limita -∞.

Funkce g má i v nevlastních bodech nevlastní limity, neboť je mj. ohraničena lineární funkcí s předpisem y = x, která má v nevlastních bodech nevlastní limity, platí lim (x ­> ∞) g (x) = + ∞ a lim (x ­> – ∞) = - ∞.

Definice limit ve vlastním bodě c:

Říkáme, že funkce f má v bodě c vlastní limitu a, právě když platí: K libovolnému kladnému číslu e je možné vybrat takové okolí bodu c, že funkční hodnoty ve všech bodech x z tohoto okolí s výjimkou bodu c splňují podmínku |f(x) – a| < e.

Říkáme, že funkce f má v bodě c nevlastní limitu - ∞, právě když platí: K libovolnému reálnému číslu K je možné vybrat takové okolí bodu c, že funkční hodnoty ve všech bodech x z tohoto okolí s výjimkou bodu c splňují podmínku f(x) < K.

Podobně jako u posloupností je možné definovat vlastní i nevlastní limity funkcí v nevlastních bodech - ∞, + ∞. Uvedeme jeden případ ze šesti možných.

Říkáme, že funkce f má nevlastní limitu + ∞ v nevlastním bodě - ∞, právě když platí: K libovolnému reálnému číslu K je možné vybrat reálné číslo x₀ takové, že funkční hodnoty ve všech bodech x, které je menší nebo rovno x₀ splňují podmínku f(x) > K.

Říkáme, že funkce f je spojitá ve vlastním bodě c, je-li v tomto bodě definovány a má-li v tomto bodě limitu shodnou s hodnotou funkce lim (x ­> c) f(x) = f(c).

Výpočet limity

Hledá-li se v bodě c limita funkce, funkce musí být alespoň v okolí tohoto bodu definována, v bodě c hodnota funkce existovat nemusí. V každém bodě existuje nejvýše jedna limita.

Při výpočtu limit zkus nejprve do výrazu dosadit hodnotu bodu, ve kterém se limita hledá. Pokud nastane dělení 0/0 nebo + - ∞/+ - ∞, násobení 0 * ∞ nebo odčítání + ∞ - (+∞), musíš limitní výraz nejprve upravit, než opět dosadíš.

O limitách funkcí ve vlastním bodě platí obdobná pravidla, jaká jsou uvedena ve větách u limit posloupností (věty o limitě konstantní funkce, součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí).

Pro limity ve vlastním bodě se často užívá toto pravidlo: Jestliže existuje limita funkce f ve vlastním bodě c, pak v tomto bodě mají stejnou limitu všechny funkce, které se s ní v okolí tohoto bodu shodují (nemusí se shodovat přímo v tomto bodě).

Příklad: Vypočtěte limity funkcí:

a) lim (x ­> -2) (x² + 4x + 4)/(x + 2)

b) lim (x ­> 0) (sinx/x)

c) lim (x ­> 0) (1/|x|)

d) lim (x ­> p) (-x/|sinx|)

Řešení:

a) lim (x ­> -2) (x² + 4x + 4)/(x + 2) = (0/0) = lim (x ­> -2) (x + 2)²/(x+2) = lim (x ­> -2) (x + 2) = -2 + 2 = 0

b) Při úpravě je použilo L´Hospitalovo pravidlo: lim (x ­> 0) (sinx/x) = (0/0) = lim (x ­> 0) cosx/1 = 1

c) Hodnota výrazu 1/|x| v okolí bodu 0 přeroste libovolné kladné číslo : lim (x ­> 0) (1/|x|) = (1/0⁺) = + ∞

d) Vytkneš a užiješ definice nevlastní limity: lim (x ­> p) (-x/|sinx|) = lim (x ­> p) (x. (1/sinx)) = - p *. (1/0⁺)=+ ∞

Derivace

Příklad: Určete rovnici tečny t funkce f: y = [(x + 2)²/8] + 1,5 procházející bodem T [0;f(0)].

Řešení: Dopočti druhou souřadnici bodu dotyku T:

f(0) = 4/8 + 1,5 = 2

Urči rovnici libovolné přímky p, která prochází dvěma body paraboly: bodem T [0;2] a libovolným bodem P [x;f(x)], kde x se nerovná nule. Tato přímka má rovnici p: y – 2 = k(x – 0), kde směrnice k = tg a = [f(x) – f(0)]/ (x – 0).

Přímka p se přiblíží k tečně t, pokud se bod P přiblíží bodu T. Pro směrnici tečny t platí: k_t = lim (P ­> T) k = lim (x ­> 0) [f(x) – f(0)]/(x – 0) = lim (x ­> 0) [(x + 2)² /8 + 1,5 – 2]/x = lim (x ­> 0) (x² + 4x)/ 8x = 0,5.

Závěr: Tečna má předpis t: y – 2 = 0,5 x + 2. Směrnice tečny k_t funkce f v daném bodě c představuje derivaci f´(c) funkce f v daném bodě c. Označí-li se rozdíl x – c symbolem h, pak je derivace f´(c) = lim (h ­>0) [f(c + h) – f (c) ]/ h.

Funkce, která má v bodě c (leží v R) derivace, je v tomto bodě spojitá (opačné tvrzení nemusí platit).

Z definice je možné určit derivace elementárních funkcí:

Funkce f		Derivace funkce v bodě x	Podmínky pro x
f(x) =	Kde platí	f´(x)	Df´=
c	c leží v R	0	R
xn	n leží v N	nxn-1	R
xn	n leží v Z	nxn-1	R\{0}
xn	n leží v R	nxn-1	R+
ex		ex	R
ax	a > 0; a se nerovná 1	axlna	R
Lnx		1/x	R+
logax	a > 0; a se nerovná 1	1/xlna	R+
sinx		cosx	R
cosx		-sinx	R
tgx		1/cos2x	R
cotgx		-1/sin2x	R\{kp}

Pokud existují derivace funkcí f a g v bodě x, pak v tomto bodě existují i následující derivace:

Součtu a rozdílu	(f +- g)´	= f´ +- g´
součinu	(f * g)´	= f´* g + f * g´
podílu	(f / g)´	= (f´* g - f * g´)/g2	Pokud platí g se nerovná 0 v bodě x

Pokud esistují derivace funkce g v bodě x a derivace funkce f v bodě g(x), pak existuje derivace složené funkce f(g) v bodě x (f(g))´ = f´(g) * g´