Kvadratické rovnice

Doporučit a sdílet | Tisk

Za kvadratickou rovnici v matematice označujeme rovnici druhého stupně, tedy takovou rovnici, ve které se vyskytuje neznámá v druhé mocnině. Obecně ji poznáš podle toho, že lze upravit na tvar: $ax 2 + bx + c = 0, kde písmena a, b a c jsou libovolnými konstantami z oboru reálných čísel a x je neznámou.$

"Vzoreček" pro řešení kvadratických rovnic

Pokud kdykoli kdekoli narazíš na kvadratickou rovnici, nejspíš si vzpomeneš, že lze její kořeny nalézt pomocí vzorečku. Ten se často studentům předkládá bez dalšího zdůvodnění, proto myslím nebude na škodu zde poznamenat, jak k němu lze dojít, což se ti může hodit v případě, že si na jeho přesné znění nemůžeš vzpomenout. V podstatě je to velmi snadné vyjádření neznámé x z obecného tvaru:

$ax 2 + bx + c = 0$

Krok 1. Konstantu c převedeme napravo a celou mocninu přenásobíme a^-1 (vydělíme a), abychom se zbavili konstanty u x²:

$ax 2 + bx = -c$

$x 2 + bx/a = -c/a$

Krok 2. Levou stranu bychom si přáli upravit na čtverec. K úpravě na tvar x² + bx/a + (b/2a)² chybí poslední člen. Nic nám nezabrání přičíst tento člen na obě strany rovnice - její rovnost zůstane zachována.

$x 2 + bx/a = -c/a$

$x 2 + bx/a$ + (b/2a)² $= -c/a$ + (b/2a)²

$(x +$ b/2a)² = $-c/a$ + b²/4a²

Krok 3. Nyní upravíme pravou stranu do jednoho zlomku a odmocníme. Při odmocnění se nesmí ztratit + ani -, které je "skryté" v mocnině. Nakonec osamostatníme x a doupravíme.

$(x +$ b/2a)² = (b² - 4ac)/4a²

$x +$ b/2a = ± √((b² - 4ac)/4a²)

$x$ = ± √(b² - 4ac)/2a - b/2a

x = (- b ± √(b² - 4ac))/2a

Předpokládám, že dosadit do tohoto vyjádření za a, b a c bys jistě hravě zvládl. $Pro připomenutí pozice a, b a c jsou v obecném tvaru kvadratické rovnice značeny následovně: ax 2 + bx + c = 0.$

Diskriminant

$Někdy je výhodné před samotným hledáním kořenů rovnice určit její diskriminant - obvykle se značí D. Vztah pro jeho výpočet je: D =$ b² - 4ac $. Podle diskriminantu lehce zjistíš následující užitečné informace:$

D = 0: Kvadratická rovnice má jedno dvojnásobné řešení, protože celý diskriminant "vypadl". Neznámou vypočteš lehce takto x = - b/2a. Pro ověření si můžeš zkusit propočítat následující rovnici.

4x² + 4x + 1 = 0

Krok 1. Dosadíme do vzorečku a uvidíme, co se stane. Vidíme, že a = 4, b = 4, c = 1.

x = (- b ± √(b² - 4ac))/2a = (- 4 ± √(4² - 4· $4$ · $1$ ))/2· $4 =$ (- 4 ± √(16 - 16))/8 = (- 4 ± √0)/8 = (- 4 ± 0)/8 = - 4/8 = -1/2

Pro ověření správnosti výpočtu můžeš výsledek dosadit do původní rovnice 4x² + 4x + 1 = 0 a po úpravě se musí obě strany rovnat.

4(-1/2)² + 4·(-1/2) + 1 = 0

4·(1/4) + -4/2 + 1 = 0

1 - 2 + 1 = 0

0 = 0.

Výpočet diskriminantu byl očividně správný. Rovnice lze tedy také zapsat 4(x + 1/2)² a tedy 4(x + 1/2)(x + 1/2). Říkáme také, že -1/2 je dvojnásobným kořenem polynomu druhého stupně, protože rovnice má dvě stejná řešení.

D > 0: Pro nezáporný diskriminant má kvadratická rovnice dvě různá řešení v oboru reálných čísel.

D < 0: Pod odmocninou by se ve vzorci objevilo záporné číslo a my bychom příklad museli spočítat v oboru komplexních čísel. Pro obor reálných čísel obvykle skončíme u tvrzení, že rovnice nemá řešení.

Vièteho vztahy

Pro rychlé zjištění řešení kvadratické rovnice se ti jistě budou hodit Vièteho vztahy, které popisují vztahy mezi řešeními (kořeny) rovnice:

1. Součet kořenů x₁+ x2 = - b/a

2. Součin kořenů x₁·x₂ = c/a

Pomocí těchto vztahů můžeš například velmi rychle "odhadnout" kořeny následující rovnice:

x² + x - 6 = 0

Krok 1. Podíváme se na poslední člen c = -6. Víme, že platí x₁·x₂ = c/a a protože a je v tomto případě rovno jedné. Hledáme součin čísel, který by byl roven -6. Napišme si tedy součin námi odhadnutých čísel.

(x +/- 3)·(x +/- 2) = 0

Krok 2. Nyní řešíme znaménka v závorkách. Po roznásobení závorek chceme získat znovu x² + x - 6 = 0. Vidíme, že u druhého členu je b > 0, tedy větší z čísel bude muset být kladné, aby převážilo v součtu záporné.

(x + 3)·(x - 2) = 0

Pro kontrolu si závorky roznásob, najdi nulové body závorek a je hotovo.

(x + 3)·(x - 2) = x² -2x +3x - 6 = x² + x - 6

x₁ + 3 = 0

x_{1 = -3}

x₂ - 2 = 0

x₂ = 2

Řešeními rovnice jsou čísla 2 a -3.

Kvadratické rovnice mohou mít ještě elegantnější řešení, ale to až v jiném článku.

Informace o článku

Tagy: (Přidat tag)

Autor: Kateřina Ostrihoňová | Napsáno: 10. 4. 2009, 14:59

Rozšiřující materiály

K tomuto článku zatím není přidán žádný doplňující materiál.